Discussions sur le rendement des éoliennes

[Christophe]

Oui, V1 dans sa tête !

[FALCON_12]

Faudra que je reprenne tes calculs avec attention.

Tes calculs sont "assez justes" dans l'esprit et ton optimum de V0/3 est valable.

Reste à vérifier la constante multiplicative devant (je crois que tu as fini par tomber sur 4/54).

Oui c'est ça, ma vieille TI92 est formelle !

A mon avis, les éoliennes en traînée aérodynamique ont un rendement assez piètre. Et encore nous avons tendance à calculer "un majorant" car tout le vent ne s'écrase pas à V0 sur le disque (comme l'a illustre Christophe, une partie des veines de flux sont ralenties et déviées autour de l'obstacle).

Oui mais tout cela est intégré dans la valeur du Cx (facteur de forme).

Une autre variable est le Cx ; le Cx n'est pas constant en fonction du Nombre de Reynolds.

Oui mais le reynold est constant du début à la fin de l'expérience et la valeur du
Cx l'est donc aussi.

De plus d'un point de vue mécanique, c'est assez lourd de devoir récupérer la translation complète de l'obstacle, et il y a aussi le problème du bras de levier si on fait tourner l'obstacle au sommet d'un mat ; cela dit ce problème de bras de levier est à peu près le même en ordre de grandeur sur les éoliennes multipales.

C'est fou, tout le monde me parle de ça alors que du début à la fin je n'en ai pas parlé
ou même dit que pour l'instant cet aspect des choses ne m'intéressait pas.

J'attends tes calculs avec impatience !

[Remundo]

Falcon12 a produit pas mal de raisonnements, questions et calculs qui sont pertinents.

Je ne dis pas totalement exacts, ils peuvent être entachés d'erreurs "bêtes" de calcul ou bien certaines hypothèses un peu contestables, mais ça en Sciences, c'est la routine... Les erreurs bebêtes de calculs on peut toujours les corriger ; les hypothèses les complexifier (mais ça peut devenir "incalculable" si on complexifie trop).

Effectivement il se place d'un point de vue théorique, pas de réalisation.

Moi au début j'avais pas pigé son approche de plaque en traînée aérodynamique, je croyais qu'il raisonnait en impact/déviation de flux. Et déjà là ça oriente les calculs sur 2 voies bien distinctes (la prise en compte d'une traînée aérodynamique, ou bien un bilan dynamique de la veine de flux déviée).

Pour ne pas trop dire de conneries sur le sujet, on est sur un niveau de physique maths sup / Maths spé. Croyez moi la mécaflux + bilan dynamique de fluide en écoulement, c'est subtil, et les calculs "à la main" sont forcément un peu contestables car ils exigent des hypothèses un peu (trop) simplificatrices.

Mais vous avez le choix entre cette voie qui dégage quelques perspectives, une petite lumière à suivre ou vous enferrer dans des calculs inextricables et obscurs...

Récemment sont apparues les simulations par éléments finis qui sont une autre voie numérique par ordinateur, venant plutôt en complément des analyses préliminaires par calcul formel. Ces analyses peuvent aussi vous fournir des "infos dégrossies" sur l'écoulement autour d'objets. Toutefois rien ne remplacera la mise à l'épreuve en soufflerie, que ce soit pour une éolienne ou un aéronef.

[FALCON_12]

Met une hélice bloquée dans un court d'eau un peu rapide et une plaque de même surface équivalente balayée, tu constateras de suite laquelle tu auras le plus de mal à maintenir en position !

Parce que c'était bien ça la question initiale ! M'enfin !

Oui, tout à fait, alors pourquoi trouve-je moins avec mon disque par les calculs ? Et pas qu'un peu ! 6 fois moins !

C'est pour résoudre cette énigme que j'ai lancé cette enfilade Christophe. Et pour tout t'avouer,
j'espère apprendre des choses passionnantes de ma question !

Je voudrais procéder à un sondage concernant votre intuition au sujet d'une question.

L'idée simple : au lieu de faire tourner une fine hélice, je repousse un disque plein qui s'oppose bien plus au vent !

2 pourquoi poser la question dans ce cas ?

Mais justement parce-que mes calculs contredisent cette intuition !
(bon là je suis comme SiCetaitSimple, j'ai atteint les limites de mes capacité à expliquer )

[Remundo]

y'a peut-être un truc qui tu ne sens pas depuis le début, et c'est une subtilité, les éoliennes travaillent selon 2 voies différentes
1) les éoliennes à impact/traînée aérodynamique
2) les éoliennes à portance

Et pour finir d'embrouiller, certaines peuvent jouer sur les 2 tableaux.

En clair une éolienne tripale n'utilise pas l'impact de l'air, mais l'écoulement autour des ailes génère une portance, laquelle génère un moment mécanique autour du rotor. Il faut voir les pales comme des ailes d'avions, mais ce sont des ailes qui deviennent motrices en rotations.

Il existe d'autres éoliennes à impact qui joue sur la déviation radicale du flux ou carrément la traînée aérodynamique (ce dernier cas est d'ailleurs ton choix).

La conception des éoliennes n'est pas du tout la même : les éoliennes à traînées aéro sont plutôt lentes et présentent des faces massives contre le vent. Les éoliennes à portance ont des pales fines et vrillées, tournent plus vite pour générer une bonne portance.

[FALCON_12]

Falcon12 a produit pas mal de raisonnements, questions et calculs qui sont pertinents.

Je ne dis pas totalement exacts, ils peuvent être entachés d'erreurs "bêtes" de calcul ou bien certaines hypothèses un peu contestables, mais ça en Sciences, c'est la routine... Les erreurs bebêtes de calculs on peut toujours les corriger ; les hypothèses les complexifier (mais ça peut devenir "incalculable" si on complexifie trop).

Effectivement il se place d'un point de vue théorique, pas de réalisation.

Moi au début j'avais pas pigé son approche de plaque en traînée aérodynamique, je croyais qu'il raisonnait en impact/déviation de flux. Et déjà là ça oriente les calculs sur 2 voies bien distinctes (la prise en compte d'une traînée aérodynamique, ou bien un bilan dynamique de la veine de flux déviée).

Pour ne pas trop dire de conneries sur le sujet, on est sur un niveau de physique maths sup / Maths spé. Croyez moi la mécaflux + bilan dynamique de fluide en écoulement, c'est subtil, et les calculs "à la main" sont forcément un peu contestables car ils exigent des hypothèses un peu (trop) simplificatrices.

Mais vous avez le choix entre cette voie qui dégage quelques perspectives, une petite lumière à suivre ou vous enferrer dans des calculs inextricables et obscurs...

Récemment sont apparues les simulations par éléments finis qui sont une autre voie numérique par ordinateur, venant plutôt en complément des analyses préliminaires par calcul formel. Ces analyses peuvent aussi vous fournir des "infos dégrossies" sur l'écoulement autour d'objets. Toutefois rien ne remplacera la mise à l'épreuve en soufflerie, que ce soit pour une éolienne ou un aéronef.

Pour vérifier mon hypothèse il faudrait un simulateur multiphysique puisqu'il y a de la mécanique des fluides et de la mécanique simple (le disque doit pouvoir se déplacer et sa vitesse doit être constante). Je crois que COMSOL peut faire ça. A vérifier.

[FALCON_12]

Falcon12 a produit pas mal de raisonnements, questions et calculs qui sont pertinents.

Je ne dis pas totalement exacts, ils peuvent être entachés d'erreurs "bêtes" de calcul ou bien certaines hypothèses un peu contestables, mais ça en Sciences, c'est la routine... Les erreurs bebêtes de calculs on peut toujours les corriger ; les hypothèses les complexifier (mais ça peut devenir "incalculable" si on complexifie trop).

Effectivement il se place d'un point de vue théorique, pas de réalisation.

Moi au début j'avais pas pigé son approche de plaque en traînée aérodynamique, je croyais qu'il raisonnait en impact/déviation de flux. Et déjà là ça oriente les calculs sur 2 voies bien distinctes (la prise en compte d'une traînée aérodynamique, ou bien un bilan dynamique de la veine de flux déviée).

Pour ne pas trop dire de conneries sur le sujet, on est sur un niveau de physique maths sup / Maths spé. Croyez moi la mécaflux + bilan dynamique de fluide en écoulement, c'est subtil, et les calculs "à la main" sont forcément un peu contestables car ils exigent des hypothèses un peu (trop) simplificatrices.

Mais vous avez le choix entre cette voie qui dégage quelques perspectives, une petite lumière à suivre ou vous enferrer dans des calculs inextricables et obscurs...

Récemment sont apparues les simulations par éléments finis qui sont une autre voie numérique par ordinateur, venant plutôt en complément des analyses préliminaires par calcul formel. Ces analyses peuvent aussi vous fournir des "infos dégrossies" sur l'écoulement autour d'objets. Toutefois rien ne remplacera la mise à l'épreuve en soufflerie, que ce soit pour une éolienne ou un aéronef.

Je propose le raisonnement suivant ;

A- admettons la formule bien connue, ancienne et validée puisqu'elle apparaît dans tous les cours et les bouquins de mecaflu qui donne la force produite par un fluide sur une surface projetée S ; F=0.5.Ro.Cx.S.V² ?

Si non c'est terminé, on a notre explication. Fin.

Si oui on passe en B

B- admettons qu'une surface projetée S subit la même force F
due à vent V de vitesse V0 quand elle est immobile que quand elle recule à la vitesse V1 devant devant un vent soufflant à V0+V1 ? (Autrement dit, si je sors la main de la fenêtre de ma voiture quand elle avance à 50 km/h je sens la même force que quand je le fais dans une voiture qui recule à 10 km/h devant un vent qui souffle à 60 km/h).

Si non (ce qui serait fou !) j'ai ma réponse, le problème vient de là.

Si oui on passe en C

C- J'ai dû me planter dans les calculs. Donc vérification.

Si les calculs sont bons il y a un nouveau et passionnant phénomène à comprendre.

[Remundo]

Reprenons depuis le début...

Bonjour,


Je voudrais procéder à un sondage concernant votre intuition au sujet d'une question.

L'idée simple : au lieu de faire tourner une fine hélice, je repousse un disque plein qui s'oppose bien plus au vent !

Sur le schéma suivant, visible ici :

,
on voit une éolienne qui balaie une surface S et un vecteur V0 perpendiculaire à S, c'est le vent.

A droite, un disque D de même surface S mais plein est représenté. Ce disque est comme l'éolienne opposé au vent.

Admettons que l'éolienne produise chaque durée T, une énergie E1.

Admettons aussi que pendant une même durée T le disque poussé par le vent recule
à la vitesse V1 sur une longueur d et qu'on puisse récupérer l'énergie que le travail de la force F qui le
pousse produit. Ce travail, donc cette énergie, vaut E2=d.F

Sans faire aucun calcul qui de E1 ou E2, selon vous, est la plus grande ?

Tout ceux qui ont eu la gentillesse et le courage de donner leur intuitif avis ont donc
dit que c'était le disque qui permettrait de récolter le plus d'énergie. Mes calculs montrent, à mon grand étonnement aussi, le contraire.

POINT1 : La force F exercée par un vent soufflant à la vitesse Vo sur une surface projetée S
qui lui fait face s'écrit :

F = 1/2.Ro.Cx.S.V^2

Cx : Coefficient de pénétration de l’air
Ro : Masse volumique du vent [kg/m3]
v : Vitesse du vent [m/s]
S : Surface exposée au vent [m²]

POINT2 : Si S recule à la vitesse V1 (avec V1<V0, donc) sous l'effet de ce vent elle subit un vent soufflant
à la vitesse différentielle V0-V1, la force F' (avec F'<F, donc) qu'elle subit s'écrit alors :

F' = 1/2.Ro.Cx.S.(V0-V1)^2

POINT3 : Pendant le temps T elle recule de la distance d=V1.T, pendant ce temps F' travaille
et ce travail vaut F'.d = F'.V1.T . L'énergie E1 produite s'écrit donc :

E2 = 1/2.Ro.Cx.S.(V0-V1)^2.V1.T

POINT4 : Pour V1=0, E2 vaut zéro puisque la plaque ne recule pas, c'est normal. Pour V1=V0, E2 vaut zéro aussi
et c'est normal aussi puisque la plaque recule à la vitesse du vent, elle n'a donc aucune force et ne peut
fournir aucun travail. Entre ces deux extrêmes (V1=0 et V1=V0) il doit y avoir un maximum puisqu'on
que la surface peut fournir un travail non nul. La dérivée de E2 par rapport à V1 s'écrit :

d(E2)/dV1 = 3/2.(V1-V0).(V1-V0/3).Ro.Cx.S.T

qui s'annule pour V1=V0/3 et donne E2max = 4/54.Cx.Ro.V0^3.T

POINT5 : Le Cx maximum est de 1.5 (parachute), Ro est de l'ordre de 1.2, E2max
réalisable ici-bas, selon mes calculs, vaut donc à peu près pour une surface S unité:

E2max = 0.13 . V0^3.T


POINT6 : La limite de Betz pour une éolienne dit que E1max s'écrit pour la même durée T :

E1max = 1/2.Ro.S.V0^3.T

Avec les même paramètres pour Ro et S on trouve :

E1max = 0.6 . V0^3.T

POINT7: d'après mes calculs l'éolienne produit donc 0.6/0.13 soit à peu près 4.6 fois plus d'énergie pendant le même temps T
à surface égale que mon système de captation linéaire.

J'avoue que cela m'étonne beaucoup et que si les calculs sont formels, je ne me l'explique pas. J'ai détaillé mes calculs dans l'espoir que quelqu'un me montre où, peut-être, je me suis trompé. J'ai repéré mes phases de calcul par des "POINT" pour aider à repérer mes éventuelles erreurs.

PS : La démonstration de Betz point du doigt le fait qu'au rendement maximum le vent doit ressortir de l'éolienne à V0/3, on retrouve donc quelque-chose qui ressemble à ce que j'ai trouvé. Cela tendrait à dire que je ne me suis pas trompé. Ce qui est inquiétant ...

Salut Falcon

Point 1 : je valide, Cx sans unité
Point 2 : je valide, la traînée se calcule avec le vent relatif V0-V1
Point 3 : je valide P = F' x V1
Point 4 : oui, si la plaque ne bouge pas, pas de puissance car V1=0, si elle va aussi vite que le vent V1-V0 s'annule.
Dérivée par rapport à V1, je préfère travailler sur la puissance P = 1/2 ro S Cx (V0-V1)^2 x V1
1/2 ro S Cx [(2 x (-1) x (V0-V1) x V1 + (V0-V1)^2 x 1 ]
=1/2 ro S Cx (V0-V1) (-2 V1 + V0-V1)

=1/2 ro S Cx (V0-V1) (V0- 3 V1) équivalent à la mise en forme de Falcon : 3/2 ro S Cx (V1-V0) (V1-V0/3)
la dérivée s'annule pour V0 - 3V1 = 0, soit V1 = V0/3
V0-V1 est toujours positif, la dérivée sera du signe de V0-3V1
pour V1<V0/3, la dérivée est donc positive, mais pour V1>V0/3, la dérivée est négative, c'est donc bien un maximum

La puissance maximum vaut si V1 = V0/3 : 1/2 ro S Cx (V0-V0/3)^2 x V0/3 = 1/2 ro S Cx 4/9 V0^2 x 1/3 V0
Pmax= 1/2 ro S V0^3 x Cx x 4/27 = ro S V0^3 x Cx x 2/27 équivalent à la mise en forme de Falcon : 4/54 ro S Cx V0^3

Points 6-7 : erreur, en raisonnant sur S = 1m² il faut corriger E1max = 0,6 V0^3 T par E1max = 1/2 x 0,6 ro V0^3 T

La limite de Betz de 16/27 démontre que l'on peut prendre au mieux 16/27 de la puissance cinétique incidente, laquelle vaut 1/2 ro S V0^3
(voir démo plus loin) : PBetz = 16/27 x 1/2 ro S V0^3

Il faut donc comparer 16/27 à 4/27 x Cx
Betz vaut 0,59 et pour l'éolienne à traînée si l'on prend un Cx de 1,5 : 4 x 1.5 / 27 = 0,22

L'optimum de Betz est donc de l'ordre de 4 fois supérieur à l'éolienne à traînée aérodynamique, si Cx=1, et 3 fois supérieur si Cx =1,5
On pourrait imaginer un Cx de 4 pour égaler Betz, mais ça n'est pas observé en pratique, au grand max Cx = 2 pour des sphères creuses concaves, on atteindrait dans ce cas 1/2 de la performance de Betz.

___________________________________________________
Démonstration rapide de la limite de Betz en appelant :
* V1 la vitesse de l'air en amont de la turbine éolienne,
* V la vitesse sur le disque de l'éolienne,
* V2 la vitesse aval
* ro la masse volumique de l'air
* S la section balayée par l'éolienne
* Dm le débit massique du tube de courant = ro S V
* u=V2/V1 le ratio de vitesses aval/amont


(1) L'air est freiné V1>V2 et aussi u = V2/V1 < 1
(2) Force de l'air sur l'éolienne F = Dm x (V1-V2)
(3) puissance cinétique perdue par l'air : Dm (V1^2-V2^2) / 2
(4) puissance de l'air sur l'éolienne : P = F x V = Dm (V1-V2) x V
On a (3)=(4), on en déduit Dm (V1^2-V2^2) /2 = Dm (V1-V2) x V
(4') on poursuit avec Dm (V1-V2) x (V1+V2) / 2 = Dm (V1-V2) x V
(5) finalement la vitesse sur l'éolienne est la moyenne de V1 et V2 : V = (V1+V2)/2
(6) On en déduit Dm = ro S V = ro S (V1+V2) / 2
(7) en reprenant (5) et (6), il vient avec (4) : P = F x V = ro S (V1+V2)/2 (V1-V2) x (V1+V2) /2
soit : P = ro S/2 (V1+V2)^2 (V1-V2) /2
en factorisant par V1^3, il ressort
(8) P = 1/2 ro S V1^3 (1+V2/V1)^2 x (1-V2/V1) /2
(9) On voit apparaître la puissance cinétique incidente Pci= 1/2 ro S V1^3
(10)En posant u = V1/V2, une fonction f(x)=(1+u)^2 x (1-u) / 2
(11)On peut réécrire : P = Pci x f(u) <=> eta = P/Pci = f(u)

(12)La fonction 2 x f(u) a pour dérivée f'(u)= 2 (1+u) (-u) + (1+u)^2 x 1 = (1+u) (1-3u)
(13) f(u) possède un maximum si u=1/3 (à savoir V2 = 1/3 V1), le vent doit être freiné d'un facteur de vitesse 3
(14) ce maximum vaut (1+1/3)^2 x (1-1/3) / 2 = 4²/3² x 2/3 /2 = 16/27, la célèbre limite de Betz

Cette limite est un majorant (donc inatteignable) car elle suppose un écoulement uniforme sur tout le disque de l'éolienne, ce qui n'est pas le cas en pratique. Il y a des turbulences, des pertes par viscosité, et des vitesses non uniformes.

[FALCON_12]

Point 1 : je valide, Cx sans unité
Point 2 : je valide, la traînée se calcule avec le vent relatif V0-V1
Point 3 : je valide P = F' x V1
Point 4 : oui, si la plaque ne bouge pas, pas de puissance car V1=0, si elle va aussi vite que le vent V1-V0 s'annule.
Dérivée par rapport à V1, je préfère travailler sur la puissance P = 1/2 ro S Cx (V0-V1)^2 x V1
1/2 ro S Cx [(2 x (-1) x (V0-V1) x V1 + (V0-V1)^2 x 1 ]
=1/2 ro S Cx (V0-V1) (-2 V1 + V0-V1)

Merci pour tes calculs Remundo !

Valides-tu aussi le point 5 ? (il n'apparait pas dans tes recalculs).

[Christophe]

Motivé le Remundo...