Turbicône

[Remundo]

Hello Turbi et Pascal,

Vous avez un lien pour le moteur Coffin, qu'on voit à quoi ça ressemble ?

Pour le périmètre de l'ellipse sphérique, tu as bien une paramétrisation...? il suffirait d'intégrer l'abscisse curviligne par un logiciel de calcul formel... ou à la main pour les plus téméraires

[Turbi]

Mille excuses Remundo,

J'ai partout écrit 'Coffin' alors que c'est 'Coffland'. J'ai corrigé le message précédent et j'y ai ajouté l'adresse de son brevet :
http://www.wipo.int/pctdb/en/ia.jsp?ia=US2005/043764

Pour la circonférence et l'aire, je m'en tire en utilisant mon logiciel de dessin qui fait aussi les calculs. Mais ce que je souhaite c'est une belle formule qui tient sur une ligne et qui fait tout le travail (en fonction des angles a et b). Pour cela il faut que je me remette au calcul infinitésimal que je n'ai pas utilisé depuis 40 ans.

Je profite de ce message pour signaler que :
- J'ai aussi ajouté la figure suivante au message sur le point et le triangle de Gernonne.



- dans ce même message j'ai ajouté la figure suivante qui présente toutes les lignes pour l'étude des forces.

[Turbi]

Re bonjour à tous,

Avant de recommencer sérieusement avec le turbicône, j'aimerai juste pour le plaisir, parler un peu d'un aspect particulier de la géométrie du turbicône : le trièdre Π (pi). C'est le trièdre formé par les trois lignes de contact du turbicône avec les plans du trièdre rectangle. Je l'appelle trièdre Π car la somme des trois angles que forment ses axes vaut toujours Π, quelque soit la position du turbicône.

1) les figures ci-dessous montrent comment obtenir un trièdre Π dans un trièdre orthogonal. La première montre un plan rouge quelconque passant par O. La seconde montre le même plan accompagné de ses symétriques bleu, vert et jaune par rapport aux trois plans du trièdre orthogonal.
...
Par ce seul exercice on a défini un trièdre Π dans chacune des huit divisions du trièdre rectangle. Le trièdre Π vert-rouge-bleu nous fait face.

2) on peut aussi remarquer que les plans gris du trièdre orthogonal sont les plans bissecteurs extérieurs des angles des plans du trièdre Π

3) Les plans bissecteurs internes sont montrés sur la figure ci-dessous

=========================================================
On reconnait évidemment les éléments du turbicône déjà décrits précédemment.
=========================================================

4) Si l'on regarde tout cela en géométrie sphérique : le triangle sphérique Π représente la plus courte trajectoire pour aller toucher les 3 plans gris et revenir au point de départ. On peut partir de n'importe point, dans n'importe quelle direction pour réussir cette trajectoire...

5) Les remarques précédentes permettent de définir ce mobile aux mouvements surprenants.


À plus

[Remundo]

Whaouh !

Des belles maths et de la belle CAO

Très belle imagerie 3D !

[Turbi]

Merci Remundo,

Nouveau pas vers le turbicône

1) Chaque cône elliptique possède un cône elliptique complémentaire ayant le même axe. Il est représenté sur la figure ci dessous par l'intermédiaire de l'ellipse E qu'il dessine sur le plan z = 1. Ce nouveau cône est généré par les lignes ON perpendiculaires aux plans tangents OMT1T2. L'analyse montre que si 2a et 2b sont le grand angle et le petit angle du cône initial, alors (pi - 2b) et (pi - 2a) sont le grand angle et le petit angle du cône complémentaire.
Le grand axe et le petit axe de l'ellipse complémentaire F sont donc 2.cotan(a) et 2.cotan(b).


2) Comme nous l'avons déjà vu lors de leur définition, non seulement les cônes des turbicônes sont elliptiques, mais en plus ils sont tangents aux plans d'un trièdre rectangle fictif. La figure ci-après présente un tel cône. Le plan tangent OMT1T2 est donc l'un des plans de ce trièdre et la perpendiculaire ON n'est autre que l'axe qui lui est perpendiculaire.
En élaborant, les trois plans du trièdre rectangle fictif coupent le plan z=1 selon le triangle NT1T2 dont les côtés sont tangents à l'ellipse E, et dont les sommets sont sur l'ellipse F complémentaire à E.


3) Il en résulte que le mouvement du système de turbicônes peut se réduire à l'étude du plan z=1


4) pour revenir à la sphère à partir de ce plan, il suffit de faire une projection radiale sur celle-ci, et d'appliquer les différentes symétries déjà mentionnées.


Le passage par le plan z=1 montre que la géométrie du turbicône est beaucoup moins compliqué qu'à première vue...


Bien qu'il reste beaucoup de choses à dire sur le sujet, ce message est la fin de cette exploration géométrique préliminaire.

Yves

[Turbi]

Re bonjour,

Voici une petite illustration de la projection des figures du plan z=1 sur la sphère R=1



La dernière figure montre le trièdre orthogonal et l'ellipse sphérique qui permet de générer un turbicône.
Ceci confirme que la simple étude d'ellipses dans le plan z=1 permet une grande partie de l'analyse du mouvement des turbicônes.
Bien d'autres aspects découlent de cette projection...

À bientôt

Yves

[pascal HA PHAM]

bonjour,

merci Yves,

Fort belle progression de figures géométries vers ton turbicone.
C'est désormais plus clair pour le candide du concept que je suis.

bien cordialement

Pascal

[Turbi]

Bonjour Pascal et les autres,

J'ajoute quelques images pour aller au bout de l'illustration de la transformation :

Voilà... Cette dernière image montre les figures simplissimes à étudier dans le plan z=1 pour obtenir le système de turbicônes en arrière plan.

À bientôt

Yves

[Turbi]

Re

Étudier la géométrie du turbicône dans le plan z=1, c'est bien beau, mais la première question à poser c'est "À quelle ellipse du plan z=1 correspond la partie conique d'un turbicône ?". En effet, les cônes générés par des cercles ne roulent pas tous les uns sur les autres. Pour en faire un turbicône il faut en plus que ce cercle s'appuie sur les trois plans d'un trièdre rectangle. Comment cela se traduit-il pour les ellipses du plan z=1 ?

La réponse est encore extrêmement simple.
Il faut reprendre les figures déjà proposées pour représenter des cônes elliptiques dans le plan z=1 :

...

Et voici la formule qui caractérise les ellipses qui génèrent des turbicônes: tan² a + tan² b = 1
(La démonstration est très simple...)

On en conclut que : tan a = cos p et tan b = sin p

Cette grande simplicité des formules se traduit par le fait que les ellipses générant des turbicônes ne répondent qu'au seul et unique paramètre p (angle qui définit l'aplatissement)

La figure ci-dessous montre que le point P sur le cercle de rayon 1 permet de construire aisément une ellipse qui génère un turbicône.

Les figures ci-dessous montrent les turbicônes générés par différents angles p :




Sur ces figures il est évident qu'avec un aplatissement très fort (p=20°) le rapport volumétrique est beaucoup plus important qu'avec un aplatissement faible (p=36°). En fait, le seul paramètre p permet de formuler toutes les caractéristiques importantes du turbicône.

Ceci complète les aspects les plus importants de la géométrie de base du turbicône. Bien d'autres facettes sont encore à explorer.

Merci à Monge...

À bientôt

Yves

[Iridium]

mais, dans quelle type d'utilisation imagine tu se système??