J'aimerai maintenant donner une première définition du turbicône.
Tous les cônes du second degré, en roulant les uns sur les autres n'ont pas la particularité de définir des espaces fermés. Voici donc une première approche pour définir ceux qui possèdent cette capacité :
La vidéo suivante illustre cette définition :
https://www.econologie.info/share/partag ... L4YqsL.wmv
1) Il faut constater que le centre d'un cercle de rayon R qui s'appuie sur les trois plans d'un trièdre rectangle demeure à une distance constante D de l'origine de ce trièdre.
D = R racine(2)
(La démonstration est facile car en effectuant une projection de ce cercle sur l'un des plans du trièdre on reconnait la figure expliquant le cercle de Monge. On peut donc utiliser les formules qui y sont associées)
On peut facilement vérifier ce point en posant une roue de bicyclette dans le coin d'une pièce, avec un CD et une boite à chaussure...
Le début de la vidéo montre un cercle dans différentes positions.
2) La vidéo montre en gris un peu transparent, la sphère de rayon D sur laquelle évolue le centre du cercle.
Il aurait aussi été possible de regarder les choses d'une autre manière : en fixant le cercle et en déplaçant le trièdre de façon à ce que ses trois plans s'appuient constamment sur sa circonférence. C'est l'origine qui aurait alors décrit une sphère de rayon D, ayant le même centre que celui du cercle.
3) Il faut alors figer l'angle sous lequel on voit le cercle à partir de l'origine. Cela est montré sur la vidéo par l'apparition d'un triangle ayant son sommet à l'origine et conservant une position fixe par rapport au cercle, (dans un plan perpendiculaire à celui du cercle).
On constate que malgré cette contrainte le cercle a encore de nombreuses positions possibles pour lesquelles il reste en contact avec les trois plans. En fait, il décrit maintenant une courbe sur la surface sphérique grise. (cette courbe n'est pas montrée sur la vidéo)
4) Étant donné que maintenant l'origine à une position fixe par rapport au cercle, on peut l'utiliser comme sommet d'un cône indéformable ayant le cercle comme courbe directrice.
La vidéo montre ce cône en vert. Elle montre aussi qu'un deuxième cercle identique au premier aurait pu donner le même cône.
Il est très important de constater que les points de contact du cercle sur les plans ont donné lieu a des lignes de contact du cône sur les plans. Et donc que l'espace du trièdre extérieur au cône est séparé en trois parties délimitées par ces lignes de contact.
5) Cette étape consiste à tronquer le cône obtenu par deux sphères concentriques pour définir enfin la pièce solide "Turbicône".
La vidéo ne montre que la partie sphérique extérieure qui évolue dans le trièdre.
6) Disposant maintenant de notre turbicône initial, il faut utiliser toutes les symétries du trièdre pour obtenir les sept autres qui vont composer le système volumétrique.
La vidéo présente aussi certains éléments sur les parties sphériques dont l'usage sera défini plus tard.
7) Il faut enfin retirer complètement le trièdre pour voir enfin le système des huit turbicônes en action.
Les plans ayant disparu, les turbicônes restent en contact et définissent des espaces dont les variations volumétriques sont particulièrement intéressantes.
En fait, le trièdre n'est pas complètement disparu. Il est juste devenu virtuel. On peut le regérer à chaque instant car il est formé par les plans tangents aux turbicônes selon leur lignes de contact.
